Los numerales

 

LA HISTORIA  DE  LOS NÚMEROS - NÚMEROS NATURALES - NÚM.  ENTEROS

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INTRODUCCIÓN - NUMERACIÓN - CANTIDAD - NUMERAL - INFINITOS - EULER

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LOS NÚMEROS

Un número es una entidad abstracta que representa una cantidad. El símbolo de un número recibe el nombre de numeral. Los números se usan con mucha frecuencia en la vida diaria como etiquetas (números de teléfono, numeración de carreteras), como indicadores de orden (números de serie), como códigos (ISBN), etc. En matemática, la definición de número se extiende para incluir abstracciones tales como números fraccionarios, negativos, irracionales, trascendentales y complejos.
 

TIPOS DE NÚMEROS

Los números más conocidos son los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ..., que se usan para contar. Si añadimos los números negativos y el cero (0) obtenemos los enteros. Cocientes de enteros generan los números racionales. Si incluimos todos los números que son expresables con decimales pero no con fracciones de enteros, obtenemos los números reales; si a éstos les añadimos los números complejos, tendremos todos los números necesarios para resolver cualquier ecuación algebraica. Podemos ampliar aún más los números, si añadimos los infinitos, hiperreales y transfinitos. Entre los reales, existen números que no son soluciones de una ecuación polinomial o algebraica, que reciben el nombre de transcendentales. Ejemplos famosos de estos números son π (Pi) y el número e (base de los logaritmos naturales) los cuales están relacionados entre sí por la identidad de Euler.

Existe toda una teoría de los números, que clasifica a los números en:

Números naturales
Número primo
Números compuestos
Números perfectos
Números enteros
Números pares
Números impares
Números racionales
Metanúmero (ΑΩX)[1]
Números reales
Números irracionales
Números algebraicos
Números trascendentes
Números hiperreales
Números complejos
Cuaterniones
Números infinitos
Números transfinitos
Números negativos
Números fundamentales: π y e

El estudio de ciertas propiedades que cumplen los números ha producido una enorme cantidad de tipos de números, la mayoría sin un interés matemático específico. A continuación se indican algunos:

Narcisista: Número de n dígitos que resulta ser igual a la suma de las potencias de orden n de sus dígitos. Ejemplo: 153 = 1³ + 5³ + 3³.

Omirp: Número primo que al invertir sus dígitos da otro número primo. Ejemplo : 1597 y 7951 son primos.

Vampiro: Número que se obtiene a partir del producto de dos números obtenidos a partir de sus dígitos. Ejemplo: 2187 = 27 x 81.

Una vez entendido el problema de la naturaleza y la clasificación de los números, surge otro, más práctico, pero que condiciona todo lo que se va a hacer con ellos: la manera de escribirlos. El sistema que se ha impuesto universalmente es la numeración de posición gracias al invento del cero, con una base constante.

Más Formalmente, en "the concept of number", el matemático (trascendente) Frege realiza una definición de "número", la cual fue tomada como referencia por un gran número de matemáticos (entre ellos Russell -co-creador de principia mathematica-):

"n es un número" es entonces la definición de que "existe un concepto F para el cual n aplica", que a su vez se ve explicado como que "n es la extensión del concepto "equinumerable con" para F", y dos conceptos son "equinumerables" si existe una relación "uno a uno" (véase que no se utiliza el símbolo 1 porque no esta definido aún) entre los elementos que lo componen (es decir, una biyección en otros terminos).

Véase también que Frege, tanto como cualquier otro matemático, se ven inhabilitados para definir a número como la expresión de una cantidad, porque la simbología en matemática no hace referencia necesaria a la numerabilidad, y el hecho de "cantidad" referiría a algo numerable, mientras que números se adoptan para definir la cardinalidad de, por ejemplo, los elementos que se encuentran en el intervalo abierto (0, 1), que contiene innumerables elementos (potencia del continuo).

Peano antes de establecer sus cinco proposiciones sobre los números naturales explicita que supone sabida una definición (quizás debido a su "obviedad") de las palabras o conceptos "cero", "sucesor" y "número". de esta manera postula:

"0 ES UN NÚMERO"

"el sucesor de todo número es un número"
"dos números -diferentes- no tienen el mismo sucesor"
"0 no es el sucesor de ningún número"
y la propiedad inductiva.

Sin embargo, si uno define el concepto "cero" como el número 100, y el concepto "número" como "los números mayores a 100", entonces las cinco proposiciones mencionadas anteriormente aplican, no a la idea que Peano habría querido comunicar, sino a su formalización.

La definición de número se encuentra por ende no totalmente formalizada, aunque se encuentre un acuerdo mayoritario en adoptar la definición enunciada por Frege.

Los metanúmeros fueron descritos por primera vez por Juan Herrera Salazar para utilizar como herramienta en los Estudio QALYs y DALYs. Actualmente se encuentran en proceso de validación. Se expresan como una ecuación numérica donde alfa y omega representan el principio y fin, mientras que X son las variables expresadas como ergías. Son números de alta densidad, y la bibliografía nos lleva a considerar su existencia a través de una especulación racional metafísica. El autor junto al profesor de matemáticas Federico Montenegro trabajan actualmente en su validación.

HISTORIA

Su origen se pierde en la noche de los tiempos aunque se apunta que su origen fue la necesidad de contar del hombre. No fue fácil pues, aún no hace mucho, han existido tribus primitivas que solo distinguían entre 1, 2 y muchos. Este conteo se inició mediante montones de piedras y marcas en huesos (se conserva una de hace 30000 años).

Existe otra teoría que indica su origen ordinal en los rituales religiosos, pero es poco probable que surgiese solo en un lugar y después se extendiese. Desde hace 5000 años la mayoría de las civilizaciones han contado como lo hacemos hoy, sin embargo la forma de escribir los números (aunque todos representan con exactitud los naturales) ha sido muy diversa. Pero básicamente la podemos clasificar en tres categorías:

Sistemas de numeración aditivos. Acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas, centenas,... necesarios hasta completar el número. Aunque los símbolos pueden ir en cualquier orden, adoptaron siempre una determinada posición (de más a menos). De este tipo son los sistemas de numeración: Egipcio, hitita, cretense, romano, griegos, armenio y judío.

Sistemas de numeración híbridos. Combinan el principio aditivo con el multiplicativo. En los anteriores 500 se representa con 5 símbolos de 100, en éstos se utiliza la combinación del 5 y el 100. El orden de las cifras es ahora fundamental (estamos a un paso del sistema posicional). De este tipo son los sistemas de numeración: Chino clásico, asirio, armenio, etiope y maya. Este último utilizaba símbolos para el "1", el "5" y el "0". Siendo este el primer uso documentado del cero tal como lo conocemos hoy (Año 36 a.C) ya que el de los babilonios solo se utilizaba entre otros dígitos.

Sistemas de numeración posicionales. La posición de las cifras nos indica si son unidades, decenas, centenas,... o en general la potencia de la base. Solo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo: El sistema Chino (300 a.C.) que no disponía de 0, el sistema Babilónico (2000 a.C.) con dos símbolos, de base 10 aditivo hasta el 60 y posicional (de base 60) en adelante, sin "0" hasta el 300 a.C.

LAS FRACCIONES UNITARIAS EGIPCIAS (PAPIRO AHMES/RHIND)

En este papiro adquirido por Henry Rhind en 1858 cuyo contenido data del 2000 al 1800 a.C. además del sistema de numeración antes descrito nos encontramos con su tratamiento de las fracciones. No consideran las fracciones en general, solo las fracciones unitarias (inversas de los naturales 1/20) que se representan con un signo oval encima del número, la fracción 2/3 que se representa con un signo especial y en algunos casos fracciones del tipo n / n + 1. Hay tablas de descomposición de 2 / n desde n=1 hasta n=101, como por ejemplo 2 / 5 = 1 / 3 + 1 / 15 ó 2 / 7 = 1 / 4 + 1 / 28, no sabemos por qué no utilizaban 2 / n = 1 / n + 1 / n pero parece que trataban de utilizar fracciones unitarias menores que 1 / n.

Al ser un sistema sumativo la notación es: 1+1/2+1/4 . La operación fundamental es la suma y nuestras multiplicaciones y divisiones se hacían por "duplicaciones" y "mediaciones", por ejemplo 69x19=69x(16+2+1), donde 16 representa 4 duplicaciones y 2 una duplicación.

FRACCIONES SEXAGESIMALES BABILÓNICAS (Documentos cuneiformes)

En las tablillas cuneiformes de la dinastía Hammurabi (1800-1600 a.C.) aparece el sistema posicional, antes referido, extendido a las fracciones, pero XXX vale para , ó con una representación basada en la interpretación del problema.

Para calcular recurrían, como nosotros antes de disponer de máquinas, a las numerosas tablas de que disponían: De multiplicar, de inversos, de cuadrados y cubos, de raíces cuadradas y cúbicas, de potencias sucesivas de un número dado no fijo, etc. Por ejemplo para calcular a, tomaban su mejor aproximación entera a1, y calculaban b1 = a / a1 (una mayor y otra menor) y entonces a2 = (a1 + b1) / 2 es mejor aproximación, procediendo igual obtenemos b2 = a / a2 y a3 = (a2 + b2) / 2 obteniendo en la tablilla Yale-7289 2=1;24,51,10 (en base decimal 1,414222) como valor de a3 partiendo de a1 = 1;30 (véase algoritmo babilónico).

Realizaban las operaciones de forma parecida a hoy, la división multiplicando por el inverso (para lo que utilizan sus tablas de inversos). En la tabla de inversos faltan los de 7 y 11 que tienen una expresión sexagesimal infinitamente larga. Sí están 1/59=;1,1,1 (nuestro 1/9=0,111...) y 1/61=;0,59,0,59 (nuestro 1/11=0,0909...) pero no se percataron del desarrollo periódico.

Descubrimiento de los inconmensurables

Las circunstancias y la fecha de este descubrimiento son inciertas, aunque se atribuye a la escuela pitagórica (se utiliza el Teorema de Pitágoras). Aristóteles menciona una demostración de la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado con respecto a su lado basada en la distinción entre lo par y lo impar. La reconstrucción que realiza C. Boyer es:

Sean d:diagonal, s:lado y d/s racional que podremos escribirlo como p / q con p y q primos entre sí. Por el teorema de Pitágoras tenemos que d2 = s2 + s2 , (d / s)2 = p2 / q2 = 2, entonces p2 = 2q2 y por tanto p2 debe ser par y también p, y por tanto q impar. Al ser p par tenemos p = 2r, entonces 4r2 = 2q2 y 2r2 = q2, entonces q2 es par y q también, entonces q es par e impar con lo que tenemos una contradicción.

La teoría pitagórica de todo es número

quedó seriamente dañada

El problema lo resolvería Eudoxo de Cnido (408-355 a.C.) tal como nos indica Euclides en el libro V de Los elementos. Para ello estableció el Axioma de Arquímedes: Dos magnitudes tienen una razón si se puede encontrar un múltiplo de una de ellas que supere a la otra (excluye el 0). Después en la Definición-5 da la famosa formulación de Eudoxo: Dos magnitudes están en la misma razón a / b = c / d si dados dos números naturales cualesquiera m y n, si ma = nb entonces mc = nd (definición que intercambiando el 2º y 3º términos equivale a nuestro procedimiento actual).

En el libro de J.P. Colette se hace la observación de que esta definición está muy próxima a la de número real que dará Dedekind en el siglo XIX, divide las fracciones en las m / n tales que ma = nb y las que ma = nb.

Descubrimiento del 0

En cualquier sistema de numeración posicional surge el problema de la falta de unidades de determinado orden, por ejemplo, en el sistema babilónico el número 22, sobre base 60 puede ser... A veces, se utilizó la posición vacía para evitar este problema _ _ _; pero los escribas debían tener mucho cuidado para no fallar.

Hacia el siglo III a.C. los griegos comenzaron a representar la nada mediante una "o" que significa Oudos (vacío), y que no dio origen al cero ya que este surge en la India mucho después. La única notación ordinal del viejo mundo fue la sumeria, donde el cero se representaba por un vacío.

La primera expresión conocida del sistema de numeración vigesimal prehispánico data del siglo III a.C. Es una estela olmeca tardía, la cual ya contaba tanto con el concepto de "orden" como el de "cero". Los mayas inventaron cuatro signos para el cero; los principales eran: el corte de un caracol para el cero matemático, y una flor para el cero calendárico (que implicaba, no la ausencia de cantidad, sino el cumplimiento de un ciclo).

Números negativos

Brahmagupta, en el 628 de nuestra era, considera las dos raíces de las ecuaciones cuadráticas, aunque una de ellas sea negativa o irracional. De hecho en su obra es la primera vez que aparece sistematizada la aritmética (+, -, *, / , potencias y raíces) de los números positivos, negativos y el cero, que él llamaba los bienes, las deudas y la nada. Así por ejemplo para el cociente establece:

Positivo dividido por positivo, o negativo dividido por negativo, es afirmativo. Cifra dividido por cifra es nada (0/0=0). Positivo dividido por negativo es negativo. Negativo dividido por afirmativo es negativo. Positivo o negativo dividido por cifra es una fracción que la tiene por denominador (a/0=¿?)

No solo utilizó los negativos en los cálculos, sino que los consideró como entidades aisladas, sin hacer referencia a la geometría. Todo esto se consiguió gracias a su despreocupación por el rigor y la fudamentación lógica y su mezcla de lo práctico con lo formal.

Sin embargo el tratamiento que hicieron de los negativos cayó en el vacío, y fue necesario que transcurrieran varios siglos (hasta el renacimiento) para que fuese recuperado.

Al parecer los chinos también poseían la idea de número negativo, y estaban acostumbrados a calcular con ellos utilizando varillas negras para los negativos y rojas para los positivos.

Trasmisión del sistema indo-arábigo a Occidente

Varios autores del siglo XIII contribuyeron a esta difusión, destacamos a: Alexander de Villedieu (1225), Sacrobosco (1200-1256) y sobre todo Leonardo de Pisa (1180-1250). Este último, conocido como Fibonacci, viajó por Oriente y aprendió de los árabes el sistema posicional hindú. Escribió un libro, El Liber abaci, que trata en el capítulo I la numeración posicional, en los cuatro siguientes las operaciones elementales, en los capítulos VI y VII las fracciones: comunes, sexagesimales y unitarias (¡no usa los decimales, principal ventaja del sistema!), y en el capítulo XIV los radicales cuadrados y cúbicos. También contiene el problema de los conejos que da la serie: 1,1,2,3,5,8,...,un con un = un − 1 + un − 2.

No aparecen los números negativos, que tampoco consideraron los árabes, debido a la identificación de número con magnitud (¡obstáculo que duraría siglos!). A pesar de la ventaja de sus algoritmos de cálculo, se desataría por diversas causas una lucha encarnizada entre abacistas y algoristas, hasta el triunfo final de éstos últimos.

Las fracciones continuas

Pietro Antonio Cataldi (1548-1626), aunque con ejemplos numéricos, desarrolla una raíz cuadrada en fracciones continuas como hoy: Queremos calcular N y sea a el mayor número cuyo cuadrado es menor que N y b = Na2, tenemos: Na = (Na2) / (N + a) = b / (2.a + Na) = b / (2.a + (b / 2.a + ...)) que con su notación escribía: n=a&b/2.a.&b/2.a ... Así 18=4&2/8.&2/8, que da las aproximaciones 4+(1/4), 4+(8/33)...

Siendo así los números irracionales aceptados con toda normalidad, pues se les podía aproximar fácilmente mediante números racionales.

Primera formulación de los números complejos

Los números complejos eran en pocos casos aceptados como coeficientes de ecuaciones (M. Stifel (1487-1567), S. Stevin (1548-1620)) y por casi ninguno (S. Stevin) como raíces, llamándolos ficticios. A pesar de esto Cardano (1501-1576) conoce la regla de los signos y Bombelli (1526-1573) las reglas aditivas a través de haberes y débitos, pero se consideran manipulaciones formales para resolver ecuaciones, sin entidad al no provenir de la medida o el conteo.

Cardano en la resolución del problema dividir 10 en dos partes tales que su producto valga 40 obtiene como soluciones (en su notación 5p:Rm:15) y (en su notación 5m:Rm:15), soluciones que consideró meras manipulaciones "sutiles, pero inútiles".

En la resolución de ecuaciones cúbicas con la fórmula de Cardano-Tartaglia, aunque las raíces sean reales, aparecen en los pasos intermedios raíces de números negativos. En esta situación Bombelli dice en su Álgebra que tuvo lo que llamó "una idea loca", esta era que los radicales podían tener la misma relación que los radicandos y operar con ellos, tratando de eliminarlos después. En un texto posterior en 20 años utiliza p.d.m. ( + i) para y m.d.m. ( − i) para dando las reglas para operar con estos símbolos añadiendo que siempre que aparece una de estas expresiones aparece también su conjugada, como en las ecuaciones de 2º grado que resuelve correctamente. Da un método para calcular a + bi.

Generalización de las fracciones decimales

Aunque se encuentra un uso más que casual de las fracciones decimales en la Arabia medieval y en la Europa Renacentista, y ya en 1579 Vieta (1540-1603) proclamaba su apoyo a éstas frente a las sexagesimales, y las aceptaban los matemáticos que se dedicaban a la investigación, su uso se generalizó con la obra que Simón Stevin publicó en 1585 De Thiende (La Disme). En su definición 1ª dice que la Disme es un especie de aritmética que permite efectuar todas las cuentas y medidas utilizando únicamente números naturales. En las siguientes define nuestra parte entera: cualquier número que vaya el primero se dice comienzo y su signo es (0), (1ª posición decimal 1/10). El siguiente se dice primera y su signo es (1) (segunda posición decimal 1/100). El siguiente se dice segunda (2). Es decir, los números decimales que escribe: 0,375 como 3(1)7(2)5(3), ó 372,43 como 372(0)4(1)3(2). Añade que no se utiliza ningún número roto (fracciones), y el número de los signos, exceptuando el 0, no excede nunca a 9.

Esta notación la simplificó Jost Burgüi (1552-1632) eliminando la mención al orden de las cifras y sustituyéndolo por un "." en la parte superior de las unidades 372·43, poco después Magín (1555-1617) usó el "." entre las unidades y las décimas: 372.43, uso que se generalizaría al aparecer en la Constructio de Napier(1550-1617) de 1619. La "," también fue usada a comienzos del siglo XVII por el holandés Willerbrod Snellius: 372,43.

El principio de inducción matemática

Su antecedente es un método de demostración, llamado inducción completa, por aplicación reiterada de un mismo silogismo que se extiende indefinidamente y que usó Maurolyco (1494-1575) para demostrar que la suma de los primeros n números naturales impares es el cuadrado del n-ésimo término, es decir . Pascal (1623-1662) usó el método de inducción matemática, en su formulación abstracta, tal y como lo conocemos hoy para probar propiedades relativas al triangulo numérico que lleva su nombre. La demostración por inducción consta siempre de dos partes: el paso base y el paso inductivo, los cuales se describen a continuación en notación moderna:

Si S es un subconjunto de los números naturales (denotado por ) donde cada elemento n cumple la propiedad P(n) y se tiene que

  1. 0 pertenece a S.
  2. El hecho de que n sea un miembro de S implica que n + 1 también lo es.

entonces , es decir que todos los números naturales n tienen la propiedad P(n).

De manera intuitiva se entiende la inducción como un efecto dominó. Suponiendo que se tiene una fila infinita de fichas de dominó, el paso base equivale a tirar la primera ficha; por otro lado, el paso inductivo equivale a demostrar que si alguna ficha se cae, entonces la ficha siguiente también se caerá. La conclusión es que se pueden tirar todas las fichas de esa fila.

La interpretación geométrica de los números complejos

Esta interpretación suele ser atribuida a Gauss (1777-1855) que hizo su tesis doctoral sobre el teorema fundamental del álgebra, enunciado por primera vez por Harriot y Girard en 1631, con intentos de demostración realizados por D’Alembert, Euler y Lagrange, demostrando que las pruebas anteriores eran falsas y dando una demostración correcta primero para el caso de coeficientes, y después de complejos. También trabajó con los números enteros complejos que adoptan la forma a + bi, con a y b enteros. Este símbolo i para fue introducido por primera vez por Euler en 1777 y difundido por Gauss en su obra “Disquisitiones arithmeticae” de 1801.

La representación gráfica de los números complejos había sido descubierta ya por Caspar Wessel (1745-1818) pero pasó desapercibida, y así el plano de los números complejos se llama “plano de Gauss” a pesar de no publicar sus ideas hasta 30 años después.

Desde la época de Girard (mitad siglo XVII) se conocía que los números reales se pueden representar en correspondencia con los puntos de una recta. Al identificar ahora los complejos con los puntos del plano los matemáticos se sentirán cómodos con estos números, ver es creer.

Descubrimiento de los números trascendentes

La distinción entre números irracionales algebraicos y trascendentes data del siglo XVIII, en la época en que Euler demostró que e y e2 son irracionales y Lambert que lo es π. Los trabajos de Legendre sobre la hipótesis de que π podía no ser raíz de una ecuación algebraica con coeficientes racionales, señalaron el camino para distinguir distintos tipos de irracionales. Euler ya hacía esta distinción en 1744 pero habría que esperar casi un siglo para que se estableciera claramente la existencia de los irracionales trascendentes en los trabajos de Liouville, Hermite y Lindeman.

Liouville (1809-1882) demostró en 1844 que todos los números de la forma a1 / 10 + a2 / 102! + a3 / 103! + ... (p.e. 0,101001.....) son trascendentes.

Hermite (1822-1901) en una memoria “Sobre la función exponencial” de 1873 demostró la trascendencia de e probando de una forma muy sofisticada que la ecuación: c0 + c1e + ...... + cnen = 0 no puede existir.

Lindeman (1852-1939) en la memoria “Sobre el número e” de 1882 prueba que el número e no puede satisfacer la ecuación: c1ex + c2ex + ............ + cnex = 0 con x y ci algebraicos, por tanto la ecuación eix + 1 = 0 no tiene solución para x algebraico, pero haciendo x = π tenemos eπi + 1 = 0, entonces x = πi no puede ser algebraico y como i lo es entonces π es trascendente.

El problema 7 de Hilbert (1862-1943) que plantea si ab, con a algebraico distinto de cero y de uno, y b irracional algebraico, es trascendente fue resuelto afirmativamente por Gelfond (1906-1968) en 1934. Pero no se sabe si son trascendentes o no: ee,, , ... Sin embargo e y 1/e sí que son trascendentes.

Teorías de los Irracionales

Hasta mediados del siglo XIX los matemáticos se contentaban con una comprensión intuitiva de los números y sus sencillas propiedades no son establecidas lógicamente hasta el siglo XIX. La introducción del rigor en el análisis puso de manifiesto la falta de claridad y la imprecisión del sistema de los números reales, y exigía su estructuración lógica sobre bases aritméticas.

Bolzano había hecho un intento de construir los números reales basándose en sucesiones de números racionales, pero su teoría pasó desapercibida y no se publicó hasta 1962. Hamilton hizo un intento, haciendo referencia a la magnitud tiempo, a partir de particiones de números racionales: si a = n1 / m1, cuando y si a = n2 / m2 cuando pero no desarrolló más su teoría.

Pero en el mismo año 1872 cinco matemáticos, un francés y cuatro alemanes, publicaron sus trabajos sobre la aritmetización de los números reales:

  • Charles Meray (1835-1911) en su obra “Noveau preçis d’analyse infinitesimale” define el número irracional como un límite de sucesiones de números racionales, sin tener en cuenta que la existencia misma del límite presupone una definición del número real.
  • Hermann Heine (1821-1881) publicó en el Journal de Crelle en 1872 su artículo “Los elementos de la teoría de funciones” cuya teoría sería similar a la de Cantor que se llama de Cantor-Heine.
  • Richard Dedekind (1831-1916) publica su “Stetigkeit und irrationale zahlen”. Su idea se basa en la continuidad de la recta real y en los “agujeros” que hay si sólo consideramos los números racionales. En la sección dedicada al “dominio R” enuncia un axioma por el que se establece la continuidad de la recta: “cada punto de la recta divide los puntos de ésta en dos clases tales que cada punto de la primera se encuentra a la izquierda de cada punto de la segunda clase, entonces existe un único punto que produce esta división”. Esta misma idea la utiliza en la sección “creación de los números irracionales” para introducir su concepto de “cortadura”. Bertrand Russell apuntaría después que es suficiente con una clase, pues esta define a la otra.
  • Georg Cantor (1845-1918). Define los conceptos de: sucesión fundamental, sucesión elemental, y límite de una sucesión fundamental, y partiendo de ellos define el número real.
  • Karl Weierstrass (1815-1897). No llegó a publicar su trabajo, continuación de los de Bolzano, Abel y Cauchy, pero fue conocido por sus enseñanzas en la Universidad de Berlín. Su caracterización basada en los “intervalos encajados”, que pueden contraerse a un número racional pero no necesariamente lo hacen, no es tan generalizable como las anteriores, pero proporciona fácil acceso a la representación decimal de los números reales.

 

CONTANDO LOS NÚMEROS EN ESPAÑOL

 

0 cero
1 uno
2 dos
3 tres
4 cuatro
5 cinco
6 seis
7 siete
8 ocho
9 nueve
10 diez
11 once
12 doce
13 trece
14 catorce
15 quince
16 dieciséis
17 diecisiete
18 dieciocho
19 diecinueve
20 veinte
21 veintiuno
22 veintidós
23 veintitrés
24 veinticuatro

25 veinticinco
26 veintiséis
27 veintisiete
28 veintiocho
29 veintinueve
30 treinta
31 treinta y uno
32 treinta y dos
33 treinta y tres
34 treinta y cuatro
35 treinta y cinco
36 treinta y seis
37 treinta y siete
38 treinta y ocho
39 treinta y nueve
40 cuarenta
41 cuarenta y uno
42 cuarenta y dos
43 cuarenta y tres
44 cuarenta y cuatro
45 cuarenta y cinco
46 cuarenta y seis
47 cuarenta y siete
48 cuarenta y ocho
49 cuarenta y nueve
50 cincuenta
51 cincuenta uno
52 cincuenta y dos
53 cincuenta y tres
54 cincuenta y cuatro
55 cincuenta y cinco
56 cincuenta y seis
57 cincuenta y siete
58 cincuenta y ocho
59 cincuenta y nueve
60 sesenta
61 sesenta y uno
62 sesenta y dos
63 sesenta y tres
64 sesenta y cuatro
65 sesenta y cinco
66 sesenta y seis
67 sesenta y siente
68 sesenta y ocho
69 sesenta y nueve
70 setenta
71 setenta y uno
72 setenta y dos
73 setenta y tres
74 setenta y cuatro
75 setenta y cinco
76 setenta y seis
77 setenta y siete
78 setenta y ocho
79 setenta y nueve
80 ochenta
81 ochenta y uno
82 ochenta y dos
83 ochenta y tres
84 ochenta y cuatro
85 ochenta y cinco
86 ochenta y seis
87 ochenta y siete
88 ochenta y ocho
89 ochenta y nueve
90 noventa
91 noventa y uno
92 noventa y dos
93 noventa y tres
94 noventa y cuatro
95 noventa y cinco
96 noventa y seis
97 noventa y siete
98 noventa y ocho
99 noventa y nueve

En español, las centenas tienen varias irregularidades. La centena se expresa como "cien" si va sola y "ciento" si va acompañada de decenas o unidades. El plural es "cientos". La palabra "cientos" se une al número que está multiplicando a "cien", pero pueden surgir irregularidades en dicho número o en la palabra entera.

100 cien
101 ciento uno
102 ciento dos
103 ciento tres
104 ciento cuatro
105 ciento cinco
110 ciento diez
115 ciento quince
120 ciento veinte
121 ciento veintiuno
122 ciento ventidós
123 ciento veintitrés
124 ciento veinticuatro
125 ciento veinticinco
126 ciento veitiséis
127 ciento veintisiete
128 ciento veintiocho
129 ciento veintinueve
130 ciento treinta
140 cineto cuarenta
150 ciento cincuenta
160 ciento sesenta
170 ciento setenta
180 ciento ochenta
190 ciento noventa
200 doscientos
210 doscientos diez doscientas diez
300 trescientos trescientas
400 cuatrocientos cuatrocientas
500 quinientos quinientas (irregular)
600 seiscientos seiscientas
700 setecientos setecientas (irregular: se pierde la "i" de "siete")
800 ochocientos ochocientas
900 novecientos

Los millares son completamente regulares. Para expresar números, la palabra "mil" permanece invariante, pero para expresar una cantidad indeterminada se empleará "millares" o "miles": "Miles de personas se manifestaron". Aquí explicaremos cómo se escriben los números de 1.000 a 999.000:

1.000 mil En años milenio.
1.002 mil dos
2.000 dos mil
2.800 dos mil ochocientos (u ochocientas)
3.000 tres mil
4.000 cuatro mil
5.000 cinco mil
6.000 seis mil
7.000 siete mil
8.000 ocho mil
9.000 nueve mil
10.000 diez mil
15.000 quince mil
18.000 dieciocho mil
22.000 veintidós mil
28.000 veintiocho mil
37.000 treinta y siete mil
85.000 ochenta y cinco mil
100.000 cien mil
108.000 ciento ocho mil
160.000 ciento sesenta mil
585.000 quinientos (o quinientas) ochenta y cinco mil
999.000 novecientos (o novecientas) noventa y nueve mil

Los números mayores que un millón no se utilizan mucho en la lengua informal, excepto con un efecto dramático: "¡Te lo he dicho mil millones de veces!" o para referirse a grandes cantidades de dinero.

Se emplean, sobre todo, el millón y los mil millones (el millardo prácticamente no se usa). El billón, trillón etc se entienden como potencias de un millón: un billón es un millón de millones.

Los múltiplos de un millón, utilizados como contadores de cosas, siempre van acompañados de la preposición de: "tres millones de dólares", pero "un millón setecientos mil dólares".

Los múltiplos de un millón siempre son masculinos: se dice "quinientos millones de personas" a pesar de que "persona" es femenino y "quinientos" puede tener forma femenina. Sin embargo, se dice "quinientos millones quinientas mil personas".

1.000.000 un millón
2.000.000 dos millones
500.000.000 quinientos millones
1.000.000.000 mil millones
1.200.000.000 mil doscientos millones
5.000.000.000 cinco mil millones
1.000.000.000.000 un billón
1.000.000.000.000.000 mil billones
1.000.000.000.000.000.000 un trillón
1.000.000.000.000.000.000.000 mil trillones
1.000.000.000.000.000.000.000.000 un cuatrillón

A veces se emplea un número decimal para multiplicar a un millón o potencia de un millón. También se emplea para millardos, a pesar de que la palabra "millardo" es muy rara en español.

1.200.000 un millón doscientos (o doscientas) mil uno coma dos millones
1.200.000.000 mil doscientos millones [uno coma dos millardos]
1.200.000.000.000 un billón doscientos mil millones uno coma dos billones
 

NÚMEROS ORDINALES

Aquí hay algunos números ordinales. El femenino de cada uno de ellos se consigue sustituyendo la o final por una a.

1.º primero*
2.º segundo
3.º tercero*
4.º cuarto
5.º quinto
6.º sexto
7.º séptimo (sétimo)
8.º octavo
9.º noveno, (nono)
10.º décimo
11.º undécimo (onceno)
12.º duodécimo (doceno)
13.º decimotercero (decimotercio)
14.º decimocuarto
15.º decimoquinto
16.º decimosexto
17.º decimoséptimo
18.º decimoctavo (no hay dos oes seguidas)
19.º decimonoveno (decimonono)
20.º vigésimo
21.º vigésimo primero
22.º vigésimo segundo
30.º trigésimo

(*) Los numerales masculinos "primero" y "tercero" se apocopan a "primer" y "tercer" delante de sustantivo singular. Por ejemplo, "Juan fue el primero en llegar", pero "Juan fue el primer hombre en llegar".

Realmente, los ordinales mayores que 19º se emplean muy poco. Normalmente, se sustituye el ordinal por el cardinal correspondiente. Sin embargo, hay que tener en cuenta que los números ordinales comienzan siempre en el número cardinal anterior cuando se refieren a objetos mensurables y subdivisibles en partes más pequeñas. En una sucesión de años (por ejemplo, la edad de una persona) no es lo mismo expresarlo en números ordinales que en números cardinales: el primer año en la vida de una persona comienza en números cardinales en 0 y termina en 1 que también es el final de ese primer año. El año siguiente (segundo) se inicia inmediatamente después pero en números cardinales no podemos decir que tiene dos años sino 1 y fracción.

20.º vigésimo
30.º trigésimo
40.º cuadragésimo
50.º quincuagésimo
60.º sexagésimo
70.º septuagésimo
80.º octogésimo
90.º nonagésimo
100.º centésimo
150.º centésimo quincuagésimo
200.º ducentésimo
300.º tricentésimo
400.º cuadringentésimo
500.º quingentésimo
600.º sexcentésimo
700.º septingentésimo
800.º octingentésimo
900.º noningentésimo
1000.º milésimo
2000.º dosmilésimo
3000.º tresmilésimo
10000.º diezmilésimo
100000.º cienmilésimo
1000000.º millonésimo
.... último (final o postrero)
 

FECHAS

La tradición en español es expresar la fecha en el formato día-mes-año, de cualquiera de estas formas:

13-06-2006
13-6-2006
13-VI-2006 (expresar el mes en números romanos)
Se puede sustituir el guión por una barra inclinada /. En todos estos casos, la fecha se lee "(el) trece de junio de dos mil seis".

El primer día de mes, por ejemplo, el 1-10-2003, se puede expresar como "uno de octubre" o "primero de octubre" indistintamente, aunque se emplea más el cardinal "uno de octubre". A veces es costumbre usar el ordinal, sobre todo en el caso del Día del Trabajo, conocido más como "primero de mayo" que como "uno de mayo".

(En Chile y Argentina, sin embargo, es extremadamente inusual la utilización del cardinal para el primer día del mes.)

Cuando sea necesario escribir el nombre entero del mes, o el día de la semana, se escribe con minúsculas: "15 de mayo", "martes 13".

PARTITIVOS

1/2 medio
1/3 tercio
1/4 cuarto
1/5 quinto
1/6 sexto
1/7 séptimo (sétimo)
1/8 octavo
1/9 noveno, (nono)
1/10 décimo
1/11 onceavo
1/12 doceavo
 

CUÁNDO SE EXPRESA UN NÚMERO EN CIFRAS Y CUÁNDO EN PALABRAS

De acuerdo con el Libro de estilo de ABC se escriben con letras:

Las cantidades de uno a nueve / Los números redondos que suenen fáciles al oído y se entiendan al instante sin necesidad de representación gráfica / Los períodos de tiempo y las edades (sesenta y tres años, una hora, treinta minutos) / En la transcripción literal y entrecomillada de declaraciones, las cifras que puedan representarse con dos palabras: diez mil, doscientos treinta.

Y se escriben con número:
las cifras superiores a diez / las fechas / las medidas del sistema métrico decimal / los números que expresen habitantes, ediciones, párrafos, apartados, páginas, artículos, versículos, etc.

cualquier número que por su complejidad resulte más claro en su lectura.
Agrega como advertencia el libro citado (p. 30), que "ninguna oración debe comenzar con un numeral escrito en cifras". Fuente de estos artículos:Wikipedia

Para traducir cualquier número a cuatro idiomas: chequefacility.org/

EXPLOTACIÓN DIDÁCTICA

Pelis para explotación didáctica con las palabras "NÚMEROS - VALORES y etc..."

Músicas para explotación didáctica con las palabras "NÚMEROS - VALORES y etc..."

Expresiones  idiomáticas - Refranes  con las palabras "NÚMEROS - VALORES y etc..."

IMÁGENES DE LOS NÚMEROS

 

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Esta es una página de recopilación de los mejores datos del español que he encontrado en Internet.  Aquí hay muchos artículos e incluso muchas fotos que me bajé de la red hace mucho tiempo. Si de alguna manera me he olvidado de hacerle la referencia a algún autor o fotógrafo, os pido que por favor me ayudéis, avísandome de la autoría de los mismos, será un placer poner los nombres de los responsables por estos trabajos:         esf@espanolsinfronteras.com

 

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